Касательная к окружности секущая и хорда в чем разница

Касательная к окружности

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

• окружность с центральной точкой А;
• прямая а — касательная к ней;
• радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку ∠АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, ⌒АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично должны быть равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

sin BDA = AB : AD = 4,5 : 9 = 0,5

Мы знаем, что прямая, проложенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проложенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN между ними равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности опускаются две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R) и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ ⌒АВ.

⌒АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

⌒КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

Источник

Что такое касательная к окружности

Определение. Касательная к окружности — это прямая на плоскости, имеющая ровно одну общую точку с окружностью.

Вот парочка примеров:

Окружность с центром O касается прямой l в точке A Из любой точки M за пределами окружности можно провести ровно две касательных Различие между касательной l, секущей BC и прямой m, не имеющей общих точек с окружностью

На этом можно было бы закончить, однако практика показывает, что недостаточно просто зазубрить определение — нужно научиться видеть касательные на чертежах, знать их свойства и вдобавок как следует попрактиковаться в применении этих свойств, решая реальные задачи. Всем этим всем мы сегодня и займёмся.

Основные свойства касательных

Для того, чтобы решать любые задачи, нужно знать четыре ключевых свойства. Два из них описаны в любом справочнике / учебнике, а вот последние два — про них как-то забывают, а зря.

1. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны

Чуть выше мы уже говорили про две касательных, проведённых из одной точки M. Так вот:

Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны.

Отрезки AM и BM равны

2. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания

Ещё раз посмотрим на картинку, представленную выше. Проведём радиусы OAи OB, после чего обнаружим, что углы OAMи OBM — прямые.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Этот факт можно использовать без доказательства в любой задаче:

Радиусы, проведённые в точку касания, перпендикулярны касательным

Кстати, заметьте: если провести отрезок OM, то мы получим два равных треугольника: OAM и OBM.

3. Соотношение между касательной и секущей

А вот это уже факт посерьёзнее, и большинство школьников его не знают. Рассмотрим касательную и секущую, которые проходят через одну и ту же общую точку M. Естественно, секущая даст нам два отрезка: внутри окружности (отрезок BC — его ещё называют хордой) и снаружи (его так и называют — внешняя часть MC).

Произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной

Соотношение между секущей и касательной

4. Угол между касательной и хордой

Ещё более продвинутый факт, который часто используется для решения сложных задач. Очень рекомендую взять на вооружение.

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.

Откуда берётся точка B? В реальных задачах она обычно «всплывает» где-то в условии. Поэтому важно научиться распознавать данную конфигурацию на чертежах.

Иногда всё-таки касается 🙂

Источник

Свойства касательной

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.

Общая точка называется в этом случае точкой касания.

Возможность существования касательной, и притом проведенной через любую точку окружности, как точку касания, доказывается следующей теоремой.

Теорема. Если прямая перпендикулярна к радиусу в его конце, лежащем на окружности, то эта прямая — касательная.

Пусть O (рис) — центр некоторого круга и OA какой-нибудь его радиус. Через его конец A проведем MN ^ OA.

Требуется доказать, что прямая MN — касательная, т.е. что эта прямая имеет с окружностью только одну общую точку A.

Допустим противное: пусть MN имеет с окружностью еще другую общую точку, например B.

Тогда прямая OB была бы радиусом и, следовательно, равнялась бы OA.

Но этого быть не может, так как, если OA -перпендикуляр, то OB должна быть наклонной к MN, а наклонная больше перпендикуляра.

Обратная теорема. Если прямая касательна к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней.

Пусть MN — касательная к окружности, A — точка касания и O — центр этой окружности.

Требуется доказать, что OA^MN.

Допустим противное, т.е. предположим, что перпендикуляром, опущенным из O на MN, будет не OA , а какая-нибудь другая прямая, например, OB.

Возьмем BС = AB и проведем OС.

Тогда OA и OС будут наклонные, одинаково удаленные от перпендикуляра OB, и следовательно, OС = OA.

Из этого следует, что окружность, учитывая наше предположение, будет иметь с прямой MN две общие точки: A и С , т.е. MN будет не касательная, а секущая, что противоречит условию.

Следствие. Через всякую данную на окружности точку можно провести касательную к этой окружности и притом только одну, так как через эту точку можно провести перпендикуляр, и притом только один, к радиусу, проведенному в нее.

Теорема. Касательная, параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягиваемую хордой, пополам.

Пусть прямая AB (рис.) касается окружности в точке M и параллельна хорде СD.

Требуется доказать, что ÈCM = ÈMD.

Проведя через точку касания диаметр ME, получаем: EM ^ AB, и следовательно, EM ^ СВ.

Задача. Через данную точку провести касательную к данной окружности.

Если данная точка находится на окружности, то проводят через нее радиус и через конец радиуса перпендикулярную прямую. Эта прямая будет искомой касательной.

Рассмотрим тот случай, когда точка дана вне круга.

Пусть требуется (рис.) провести к окружности с центром O касательную через точку A.

Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO, а из точки O, как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

Проведя затем хорды OB и OС, соединим точку A с точками D и E, в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью.

Прямые AD и AE — касательные к окружности O.

Действительно, из построения видно, что тр-ки AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС ) с основаниями OB и OС, равными диаметру круга O.

Так как OD и OE — радиусы, то D — середина OB, а E — середина OС, значит AD и AE — медианы, проведенные к основаниям равнобедренных тр-ков, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE, то они — касательные.

Следствие. Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.

Так AD=AE и ÐOAD = ÐOAE (рис.), потому что прямоугольные тр-ки AOD и AOE, имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны.

Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной” от данной точки до точки касания.

Задача. Провести касательную к данной окружности O параллельно данной прямой AB (рис.).

Опускаем на AB из центра O перпендикуляр OС и через точку D, в которой этот перпендикуляр пересекается с окружностью, проводим EF || AB.

Искомая касательная будет EF.

Действительно, так как OС ^ AB и EF || AB, то EF ^ OD, а прямая, перпендикулярная к радиусу в его конце, лежащем на окружности — касательная.

Задача. К двум окружностям O и O₁ провести общую касательную (рис.).

Анализ. Предположим, что задача решена.

Пусть AB будет общая касательная, A и B — точки касания.

Очевидно, что если мы найдем одну из этих точек, например, A, то затем легко найдем и другую.

Проведем радиусы OA и O₁B. Эти радиусы, будучи перпендикулярны к общей касательной, параллельны между собой.

Поэтому, если из O₁ проведем O₁С || BA, то тр-к OСO₁ будет прямоугольный при вершине С.

Вследствие этого, если опишем из O, как центра, радиусом OС окружность, то она будет касаться прямой O₁С в точке С.

Радиус этой вспомогательной окружности известен: он равен OA – СA= OA — O₁B, т.е. он равен разности радиусов данных окружностей.

Построение. Из центра O описываем окружность радиусом, равным разности данных радиусов.

Из O₁ проводим к этой окружности касательную O₁С (способом, указанным в предыдущей задаче).

Через точку касания С проводим радиус OС и продолжаем его до встречи с данной окружностью в точке A. Наконец из A проводим AB параллельно СO_1.

Совершенно таким же способом мы можем построить другую общую касательную A₁B₁ (рис.). Прямые AB и A₁B₁ называют внешними общими касательными.

Можно еще провести две внутренние касательные следующим образом:

Анализ. Предположим, что задача решена (рис.). Пусть AB — искомая касательная.

Проведем радиусы OA и O₁B в точки касания A и B. Так как эти радиусы оба перпендикулярны к общей касательной, то они параллельны между собой.

Поэтому, если из O₁ проведем O₁С || BA и продолжим OA до точки С, то OС будет перпендикуляр к O₁С.

Вследствие этого окружность, описанная радиусом OС из точки O, как центра, будет касаться прямой O₁С в точке С.

Радиус этой вспомогательной окружности известен: он равен OA+AС = OA+O₁B, т.е. он равен сумме радиусов данных окружностей.

Построение. Из O как центра, описываем окружность радиусом, равным сумме данных радиусов.

Из O₁ проводим к этой окружности касательную O₁С.

Точку касания С соединяем с O.

Наконец через точку A, в которой OС пересекается с данной окружностью, проводим AB = O₁С.

Подобным же способом можем построить другую внутреннюю касательную A₁B₁.

Общее определение касательной

Пусть к окружности с центром (рис.) проведены через точку A касательная AT и какая-нибудь секущая AM.

Станем вращать эту секущую вокруг точки A так, чтобы другая точка пересечения B все ближе и ближе придвигалась к A.

Тогда перпендикуляр OD, опущенный из центра на секущую, будет все больше и больше приближаться к радиусу OA, и угол AOD может стать меньше всякого малого угла.

Угол MAT, образованный секущей и касательной, равен углу AOD (вследствие перпендикулярности их сторон).

Поэтому при неограниченном приближении точки B к A угол MAT также может стать как угодно мал.

Это выражают иными словами так:

касательная есть предельное положение, к которому стремится секущая, проведенная через точку касания, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается к точке касания.

Это свойство принимают за определение касательной, когда речь идет о какой угодно кривой.

Так, касательной к кривой AB (рис.) называется предельное положение MT, к которому стремится секущая MN, когда точка пересечения P неограниченно приближается к M.

Заметим,что определяемая таким образом касательная может иметь с кривой более одной общей точки (как это видно на рис).

Источник

Касательная прямая касаться вопроса

Прямая является касательной к графику функции Найдите c.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Прямая является касательной к графику функции Найдите c.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Таким образом, с = 23.

Прямая является касательной к графику функции Найдите с.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Прямая является касательной к графику функции Найдите с.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Прямая является касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Проверка показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания 3.

Прямая y = −4x − 8 является касательной к графику функции y = x 3 − 3x 2 − x − 9. Найдите абсциссу точки касания.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Проверка показывает, что корень удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания 1.

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.

а) Введём обозначения, как показано на рисунке, пусть M, H, N — точки касания. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны: AM = AN, CM = CH, HB = BN. Поэтому:

откуда p = AM, где Р — периметр, p — полупериметр треугольника.

б) Для определения площади треугольника используем формулу, связывающую её с полупериметром, стороной и радиусом вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других сторон треугольника:

Примечание: указанная в решении формула легко может быть получена из следующих соображений где O₁ — центр окружности с радиусом r_1. При этом

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 4 и 8. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.

а) Введём обозначения, как показано на рисунке, пусть — точки касания. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны: Поэтому:

б) Для определения площади треугольника используем формулу, связывающую её с полупериметром, стороной и радиусом вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других сторон треугольника:

Аналоги к заданию № 505568: 511412 Все

откуда взялась формула я знаю ,что есть

То, что Вы чего-то не знаете, не означает, что этого не существует. Формула площади треугольника через радиус вневписанной окружности, следует из указанной Вами формулы и подобия исходного треугольника и треугольника, в который вписана вневписанная окружность исходного.

График функции пересекает ось ординат в точке А и имеет ровно две общие точки M и N с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке M, проходит через точку А. Найдите а, b и с, если площадь треугольника AMN равна 1.

Пусть точки x₁ и x₂ — абсциссы точек N и M соответственно (см. рис.)

Очевидно, что выполняются равенства:

Из последнего равенства:

Так как график функции f(x) имеет ровно две общие точки с осью абсцисс, то либо x₁, либо x₂ будет корнем кратности 2. Корень x₂ таковым быть не может, ибо в противном случает касательная к графику функции f(x) в точке M была бы параллельной оси Ох или совпасть с ней, что исключает прохождение этой касательной через точку А. Следовательно, корнем кратности 2 является корень x₁.

Значит, Но тогда:

Теперь составим уравнение касательной к графику функции в точке (x₂; 0). Это уравнение имеет вид: или где

Итак, уравнение касательной:

По условию задачи известно, что та же касательная проходит через точку A(0; c). Значит, координаты точки А удовлетворяют полученному уравнению. Тогда имеем:

Но в соответствии с равенством (*) получим:

Так как x₂ ≠ 0, то a = −2x₂.

Это — с одной стороны. С другой стороны, как было показано выше: a = −2x₁ − x₂, следовательно,

Теперь используем ранее полученные равенства: и

Так как S(AMN) = 1, то:

Из последнего равенства ясно, что x₁ > 0. Коли это так, то: Но тогда:

Ответ: a = −4, b = 5, c = −2.

Окружность, проходящая через вершины A, C и D прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, пересекает меньшую боковую сторону AB в точке P и касается прямой BC. Известно, что AD = CD.

а) Докажите, что CP — биссектриса угла ACB.

б) В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции?

a) Пусть O — центр окружности. Прямая OC перпендикулярна касательной BC, а так как хорда AD параллельна BC, прямая OC перпендикулярна прямой AD. Диаметр CC₁ перпендикулярен хорде AD, а значит, делит её пополам. Высота треугольника ACD является его медианой, значит, треугольник равнобедренный, AC = CD, а так как AD = CD, треугольник равносторонний. Тогда

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

Следовательно, CP — биссектриса угла ACB.

б) Пусть Тогда значит,

По свойству биссектрисы треугольника значит, Поэтому

Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 78°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Треугольник АВС равнобедренный, так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Следовательно, угол ВAC равен 0,5(180° − 78°) = 51°. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги, поэтому искомая дуга равна 2 · 51° = 102°.

Приведем другое решение.

Пусть искомая длина меньшей дуги АВ равна х, тогда длина большей дуги АВ равна 360° − х. Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен половине высекаемых ими дуг, откуда имеем: 0,5(360° − 2x) = 78°. Тогда x = 102°.

Приведем ещё одно решение.

В четырёхугольнике АВСO углы А и В — прямые. Тогда сумма углов С и O равна 180°. Значит, угол O равен 180° − 78° = 102°. При этом он является центральным углом, который опирается на искомую дугу. Значит, искомая дуга равна 102°.

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон ВС, АВ и АС в точках K, L и М соответственно. Прямая КМ вторично пересекает в точке Р окружность радиуса АМ с центром А.

а) Докажите, что прямая АР параллельна прямой ВС.

б) Пусть AM = 3, CM = 2, Q — точка пересечения прямых КМ и АВ, а Т — такая точка на отрезке РQ, что Найдите QT.

а) Отрезки CK и CM являются отрезками касательных, проведенных из точки C к окружности с центром в O, следовательно, они равны, значит, равны углы CKM и CMK. Отрезки AM и AP равны, поскольку являются радиусами окружности с центром в точке A. Следовательно треугольник PAM — равнобедренный, углы APM и AMP при его основании равны. Углы AMP и KMC равны как вертикальные, а углы KMC и CMK равны как углы при основании равнобедренного треугольника CMK.

а потому прямые AP и BC параллельны.

б) Отрезки BK и BL равны, обозначим их длины x. Тогда:

Из подобия треугольников BKQ и APQ следует:

Воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике APQ:

Далее, является биссектрисой угла а угол по условию равен половине угла поэтому — биссектриса угла Треугольник равнобедренный, поэтому перпендикулярно Теперь, используя подобие треугольников и получаем:

Диаметр AB и хорда CD окружности пересекаются в точке E, причём CE = DE. Касательные к окружности в точках B и C пересекаются в точке K. Отрезки AK и CE пересекаются в точке M.

а) Докажите подобие треугольников ACE и OKB, где O — центр данной окружности.

б) Найдите площадь треугольника CKM, если AB = 10, AE = 1.

а) В равнобедренном треугольнике OCD отрезок OE является медианой, следовательно, и высотой. То есть Отметим на продолжении луча KC за точку C произвольную точку L. Тогда треугольник ACD также равнобедренный, в нем медиана совпадает с высотой. Значит, тогда и соответствующие дуги равны. Тогда поскольку один из них вписанный, опирающийся на дугу AD, а второй — угол между касательной и хордой, стягивающей дугу AC.

Заметим далее, что как соответственные углы при пересечении параллельных прямых KB и CD (они обе перпендикулярны AB) секущей KL. Кроме того KO — биссектриса угла BKC, потому что проходит через центр окружности, а стороны угла — касательные из одной точки. Поэтому откуда прямоугольные треугольники BKO и ECA подобны по двум углам.

б) Радиус окружности равен 5. Тогда Из треугольника OEC находим Тогда

Треугольники BKA и EMA подобны с коэффициентом откуда

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке M. Окружность, описанная около треугольника CDM, пересекает отрезок AD в точке N и касается прямой BN.

а) Докажите, что треугольники BNC и CDN подобны.

б) Найдите AD, если а радиус окружности равен 13.

а) Заметим, что (первый — угол между касательной и хордой, второй — вписанный угол) и (вписанные, опирающиеся на одну дугу). Значит,

Кроме того из параллельности прямых AD и BC следует, что поэтому треугольники подобны по двум углам.

откуда Кроме того, из параллельности. Значит поэтому BC — касательная к окружности. Тогда высота CH трапеции является частью диаметра окружности и, следовательно, проходит через середину хорды ND, откуда Из теоремы синусов для треугольника CDN имеем

Из пункта а) следует, что откуда

Треугольники AMD и DCB подобны по двум углам, откуда то есть

Четырехугольник KLMN описан около окружности и вписан в окружность. Прямые KL и NM пересекаются в точке P. Найдите площадь треугольника KPN, если известно, что ∠KPN = φ и радиусы окружностей, вписанных в треугольники KPN и LMP равны соответственно r и R.

Первый случай.

Центры O₁ и O окружностей, вписанных в треугольники KPN и LMP соответственно, лежат на биссектрисе PO угла KPN. Окружность, вписанная в четырехугольник KLMN, является также окружностью, вписанной в треугольник KPN и вневписанной окружностью треугольника LMP.

Четырехугольник KLMN вписан в окружность, следовательно, ∠LKN + ∠LMN = 180°. Но ∠LMP + ∠LMN = 180°, откуда ∠LKN = ∠LMP. Так как треугольники KPN и LMP имеют еще общий угол KPN, они подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.

2) S_ΔLPM = pR, где p — полупериметр треугольника LPM равный длине отрезка AP, как сумма отрезков касательных проведенных из одной точки.

3) из прямоугольного треугольника OAP находим откуда

Подставляя найденное S_ΔLPM в формулу площади треугольника KPN, окончательно получаем

Второй случай.

Отличается от первого расположением точки P левее точек N и K. В этом случае R > r и в рассуждении они и треугольники LMP и KPN должны быть поменяны местами. Таким образом, в этом случае KPN — меньший из двух треугольников, а радиус вписанной в него окружности r. Значит

S_KPN = rp, где p — полупериметр треугольника KPN равный отрезку PB. При этом, как и в первом случае, Таким образом

Аналоги к заданию № 484617: 484618 506053 Все

При каких значениях a система

имеет ровно два решения?

Изобразим линии, соответствующие предложениям системы, в плоскости xOy. Каждое из двух уравнений задаёт пучок прямых, проходящих через начало координат, симметричных друг другу относительно оси ординат и совпадающих при Двойное неравенство задает горизонтальную полосу, ограниченную прямыми и включая границы. Уравнение задает окружность с центром в точке и радиусом Дуга окружности, лежащая в указанной полосе, выделена на рисунке синим. Определим, при каком значении параметра а прямые, задаваемые уравнениями имеют с этой дугой окружности ровно две общие точки.

Точка является решением при любом значении параметра a. Вторая точка пересечения соответствует следующим трем случаям.

— Пересечению совпадающих при прямых с дугой окружности в точке (6; 0) — см. рис., выделено пурпурным.

— Пересечению с дугой окружности одной из прямых в том случае, когда другая прямая является касательной, проходящей через точку Найдем уравнение такой касательной. Прямая, проходящая через начало координат, задается уравнением Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть перпендикулярна прямой содержащий этот радиус (см. рис.). Две прямые на плоскости, отличные от координатных осей, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1. Тем самым откуда Следовательно, искомое уравнение касательной есть что соответствует значениям При этом вторая прямая не пересекает дугу окружности в точке, отличной от начала координат, а значит, найденные значения параметра не являются искомыми.

— Пересечению с дугой окружности одной из прямых, если при этом вторая прямая не пересекает дугу в точке, отличной от точки Этот случай реализуется при или при за исключением ранее отброшенных точек

Найдите значения параметра a, при которых уравнение

имеет ровно одно решение на промежутке

Сделаем замену и найдём корни уравнения

по теореме, обратной теореме Виета:

Заметим, что если то каждому такому t соответствует два корня исходного уравнения, если же или то такому t будет соответствовать один корень исходного уравнения. Прочим t не соответствует ни одного корня.

В системе координат aOt графиком уравнения (*) является объединение прямой и параболы Заметим, что прямая является касательной к параболе в точке (это следует из того, что уравнение имеет единственное решение).

Требуется найти такие при которых уравнение имеет ровно один корень на и при этом не имеет корней на Это выполняется при Найдём значения

Значение является меньшим корнем уравнения получаем: Значение является корнем уравнения получаем: Значение является корнем уравнения получаем:

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на промежутке при

Найдите все значения параметра a, при которых система

имеет ровно два различных решения.

Изобразим линии, соответствующие уравнениям и неравенству системы, в плоскости xOy. Каждое из двух уравнений задаёт пучок прямых, проходящих через начало координат, симметричных друг другу относительно оси ординат и совпадающих при (см. рис., выделено красным). Двойное неравенство задает внутреннюю часть горизонтальной полосы, ограниченной прямыми и Уравнение задает окружность с центром в точке и радиусом Дуга окружности, лежащая в указанной полосе, выделена на рисунке синим. Определим, при каком значении параметра а прямые, задаваемые уравнениями имеют с этой дугой окружности ровно две общие точки.

Заметим, что число решений системы при и одинаково. Искомые значения параметра симметричны относительно нуля. Рассмотрим подробно случай

Точка является решением при любом значении параметра a. Вторая точка пересечения соответствует следующим трем случаям.

— Пересечению с дугой окружности прямой если при этом прямая не пересекает дугу в точке, отличной от точки Этот случай реализуется при

— Пересечению совпадающих при прямых с дугой окружности в точке (2; 0) — см. рис., выделено пурпурным.

— Пересечению с дугой окружности прямой в том случае, когда прямая является касательной, проходящей через точку Найдем уравнение такой касательной. Прямая, проходящая через начало координат, задается уравнением Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть перпендикулярна прямой содержащий этот радиус (см. рис.). Две прямые на плоскости, отличные от координатных осей, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1. Тем самым откуда Следовательно, искомое уравнение касательной есть что соответствует значениям При этом вторая прямая пересекает дугу в точке, отличной от начала координат, а значит, найденное значение параметра является искомым.

Объединяя полученные значения параметра с соответствующими отрицательными значениями, получаем, что система имеет ровно два различных решения при

Источник



Окружность. Касательная к окружности.

Прямая (MN), имеющая с окружностью только одну общую точку (A), называется касательной к окружности.

Общая точка называется в этом случае точкой касания.

Возможность существования касательной, и притом проведенной через любую точку окружности, как точку касания, доказывается следующей теоремой.

Теорема.

Если прямая перпендикулярна к радиусу в его конце, лежащем на окружности, то эта прямая — касательная.

Пусть O — центр некоторого круга и OA какой-нибудь его радиус. Через его конец A проведем MN ⊥ OA.Требуется доказать, что прямая MN — касательная, т.е. что эта прямая имеет с окружностью только одну общую точку A.

Допустим противное: пусть MN имеет с окружностью еще другую общую точку, например B. Тогда прямая OB была бы радиусом и, следовательно, равнялась бы OA.

Но этого быть не может, так как, если OA — перпендикуляр, то OB должна быть наклонной к MN, а наклонная больше перпендикуляра.

Обратная теорема.

Если прямая касательная к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней.

Следствие.

Через всякую данную на окружности точку можно провести касательную к этой окружности и притом только одну, так как через эту точку можно провести перпендикуляр, и притом только один, к радиусу, проведенному в нее.

Теорема.

Касательная параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягиваемую хордой, пополам.

Пусть прямая AB касается окружности в точке M и параллельна хорде СD. Требуется доказать, что ∪CM= ∪MD.

Проведя через точку касания диаметр ME, получаем: EM ⊥ AB и следовательно, EM ⊥ СD. Поэтому СM=MD.

Через данную точку провести касательную к данной окружности.

Если данная точка находится на окружности, то проводят через нее радиус и через конец радиуса перпендикулярную прямую. Эта прямая будет искомой касательной.

Рассмотрим тот случай, когда точка дана вне круга.

Пусть требуется провести к окружности с центром O касательную через точку A. Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO, а из точки O, как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

Проведя затем хорды OB и OС, соединим точку A с точками D и E, в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью. Прямые AD и AE — касательные к окружности O. Действительно, из построения видно, что треугольники AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС) с основаниями OB и OС, равными диаметру круга O.

Так как OD и OE — радиусы, то D — середина OB, а E — середина OС, значит AD и AE — медианы, проведенные к основаниям равнобедренных треугольников, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE, то они — касательные.

Следствие.

Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.

Так AD=AE и ∠OAD = ∠OAE потому, что прямоугольные треугольники AOD и AOE, имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны. Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной” от данной точки до точки касания.

Источник