Статистическая обработка результатов исследования
Применение методов математической статистики (статистических методов) для обработки результатов эмпирического исследования является обязательным требованием к курсовым и выпускным квалификационным работам по психологии и конфликтологии.
Методами статистической обработки результатов исследования называются математические приемы, формулы, способы количественных расчетов, с помощью которых показатели, получаемые в ходе исследования, можно обобщать, приводить в систему, выявляя скрытые в них закономерности.
В зависимости от применяемых методов можно охарактеризовать выборочное распределение данных исследования, можем судить о динамики изменения отдельных показателей, о статистических связях существующих между исследуемыми переменными величинами.
Математическая обработка результатов исследования дает психологу возможность ответить на ряд вопросов:
1. Чем один человек отличается от другого (или группы лиц) по исследуемой психологической характеристике?
2. Чем отличается уровень развития одной психологической характеристики от другой у данной личности?
3. Как развиваются две группы лиц по какой-либо психологической характеристике и др.
Ответы на эти и другие вопросы могут быть получены в ходе психодиагностического обследования и зависят от правильного проведения этого обследования, а также от грамотной обработке и интерпретации полученных результатов.
Главная цель статистических методов — представить количественные данные в сжатой форме, с тем, чтобы облегчить их понимание.
Все методы статистического анализа условно делятся на первичные и вторичные.
Первичными называются методы, с помощью которых можно получить показатели, непосредственно отражающие результаты проводимых в эксперименте измерений. Под первичными статистическими показателями имеются в виду показатели, которые применяются в самих психодиагностических методиках и являются итогом начальной статистической обработки результатов диагностики.
К первичным методам статистической обработки относят: определение среднего арифметического, дисперсии, моды и медианы.
Вторичными называют методы статистической обработки, с помощью которых на базе первичных данных выявляют скрытые в них статистические закономерности.
К вторичным методам статистической обработки относят: корреляционный анализ, регрессионный анализ, факторный анализ, методы сравнения первичных данных двух или нескольких выборок.
Основные процедуры статистического анализа первичных результатов исследования
Меры центральной тенденции
Рассматривая методы математической статистики, применяемые для обработки данных тестовых исследований, можно выделить группу методов которые могут описывать те или иные меры центральной тенденции. Такие меры указывают наиболее типичный результат, характеризующий выполнение теста всей группой. Самая известная из таких мер – среднеарифметическое значение (М).
Среднеарифметическое (или выборочное среднее) значение представляет собой среднюю оценку изучаемого в эксперименте психологического качества. Эта оценка характеризует степень его развития в целом у той группы испытуемых, которая была подвергнута исследованию (выборка испытуемых). Сравнивая среднее значение двух или нескольких групп, мы можем судить об относительной степени развития у людей, составляющих эти группы, оцениваемого качества.
Среднеарифметическое определяется по следующей формуле:
где М — среднеарифметическое значение
n — количество испытуемых
— сумма всех результатов
Пример: В исследовании объема вербальной механической памяти, тест «10 слов» в группе из 12 испытуемых (n = 12), получены следующие результаты (количество запомненных слов): 5, 4, 5, 6, 7, 3, 6, 2, 8, 6, 9, 7
Среднеарифметическое значение (М)
Для данной выборки среднеарифметическое значение (М) = 5,6
Другой мерой центральной тенденции является мода (Мо) — наиболее часто встречающийся результат. В интервальном частотном распределении мода определяется как середина интервала, для которого частота максимальна.
Пример: В ряду значений 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9 модой является 6, потому, что 6 встречается чаще любого другого числа.
Обратите внимание, что мода представляет собой наиболее часто встречающееся значение (в данном примере это 6), а не частоту встречаемости этого значения (в данном примере равную 3).
Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, мода вычисляется как среднее арифметическое этих двух значений.
Пример: в выборке 1, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 6 частоты рядом расположенных значений 2 и 5 совпадают и равняются 3. Эта частота больше, чем частота других значений 1 и 6 (у которых она равна 1). Следовательно, модой этого ряда будет величина
Третья мера центральной тенденции – медиана (Ме), — результат, находящийся в середине последовательности показателей, если их расположить в порядке возрастания или убывания. Справа и слева от медианы (Ме) в упорядоченном ряду остается по одинаковому количеству данных (50% и 50%). Если ряд включает в себя четное количество признаков, то медианой (Ме) будет среднее, взятое как полусумма двух центральных значений ряда.
Пример: Найдем медиану выборки: 5, 4, 5, 6, 7, 3, 6, 2, 8, 6, 9, 7.
Упорядочим выборку: 2, 3, 4, 5, 5, 6, / 6, 6, 7, 7, 8, 9. Поскольку здесь имеется четное число элементов, то существует две «середины» — 6 и 6. В этом случае медиана определяется как среднее арифметическое этих значений.
Пример: Найдем медиану выборки с нечетным количеством значений: 9, 3, 5, 8, 4, 11, 13.
Сначала упорядочим выборку по величинам входящих в нее значений. Получим: 3, 4, 5, 8, 9, 11, 13. Поскольку в выборке семь элементов, четвертый по порядку элемент будет серединой ряда. Таким образом, медианой будет четвертый элемент — 8
Значения Ме и Мо полезны для того, чтобы установить является ли распределение частных значений изучаемого признака симметричным и приближающимся к нормальному распределению. Среднее арифметическое (М), медиана (Ме) и мода (Мо) для нормального распределения обычно совпадают или очень мало отличаются друг от друга. При нормальном распределении результатов график распределения имеет форму колокола (рис. 2).
Рис. 2. График нормального распределения результатов исследования
Меры разброса данных
Для более полного описания результатов эмпирического исследования используются меры разброса данных, характеризующие степень индивидуальных отклонений от центральной тенденции. Это самый простой показатель, который можно получить для выборки — разность между максимальной и минимальной величинами данного конкретного вариационного ряда. Мера разброса данных позволяет сравнивать между собой разные группы. Чем сильней варьирует измеряемый признак, тем больше величина разброса данных и наоборот.
Необходимо отметить, что данная мера крайне неточна и неустойчива. Единственный необычно высокий или низкий результат может повлиять на величину размаха.
Более точный метод измерения разброса данных основан на учете разности между каждым индивидуальным результатом и среднеарифметическим значением по группе. Такой мерой разброса является дисперсия или средний квадрат отклонения ( ).
Дисперсия характеризует насколько частные значения отклоняются от средней величины в данной выборке. Чем больше дисперсия, тем больше отклонение или разброс данных. Дисперсия определяется по следующей формуле:
— выражение, означающее, что для всех значений x от первого до последнего в данной выборке вычисляется разность между частными и средними значениями, эти разности возводятся в квадрат и суммируются
n — объем выборки
Вычислим дисперсию ( ) для следующего ряда: 2, 4, 6, 8, 10. Прежде всего, найдем среднее (М) для данного ряда, оно равно 6.
Из каждого элемента ряда вычтем величину среднего этого ряда. Полученные величины характеризуют то, насколько каждый элемент отклоняется от средней величины в данном ряду. Экспериментальные данные этой задаче, необходимые для расчета дисперсии, представим в виде (табл. 4)
| Первичный результат | |
| — 4 | |
| — 2 | |
| М = 6 | = 40 |
Далее разности возводят в квадрат суммируются. Полученную сумму квадратов разностей делим на объем данной выборки. В нашем примере получится следующее:
Общий алгоритм вычисления дисперсии ( ) следующий:
1. Вычисляется среднее по выборке
2. Для каждого элемента выборки вычисляется его отклонение от среднего.
3. Каждый элемент множества возводят в квадрат.
4. Находится сумма этих квадратов.
5. Эта сумма делится на общее количество членов используемой выборки.
Очень часто вместо дисперсии для выявления разброса частных данных относительно средней используют производную от дисперсии величину, называемую стандартным отклонением. Стандартное отклонение равно квадратному корню, извлекаемому из дисперсии ( ), и обозначается тем же знаком, только без квадрата ( ). Эта величина в ряде случаев оказывается более удобной характеристикой варьирования, чем, дисперсия, так как выражается в тех же единицах, что и средняя арифметическая величина.
В нашем примере
О чем же свидетельствует стандартное отклонение равное 2, 58? Оно позволяет сказать, что большая часть результатов данного исследования располагается в пределах 2, 58 от средней, т. е. между 3, 42 (6 – 2,58) и 8, 58 (6 + 2,58).
Для того чтобы лучше понять, что подразумевается под «большей частью результатов», необходимо рассмотреть те свойства стандартного отклонения, которые проявляются при нормальной или приблизительно нормальной кривой распределения, так как здесь существует прямое соответствие между и относительным количеством случаев. На рис. 3 по горизонтальной оси отложены интервалы, соответствующие отклонению в 1 , 2 и 3 вправо и влево от среднего значения (М). Процент случаев, приходящийся на интервал М + 1 в нормальном распределении, равен 34, 13. Поскольку кривая симметрична, 34,13 случаев приходится также на интервалы от М — 1 , так, что диапазон от — 1 до + 1 охватывает 68, 26 % случаев. Почти все случаи (99,72%), т. е. почти все показатели лежат в пределе от — 3 до + 3 относительно среднего значения.
Источник
ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
Для заданной статистической выборки, состоящей из 20 измерений (числа измерений базового размера изделия в мм), приведенных в таблице 5, выполнить статистическую обработку результатов измерений и произвести оценку полученных результатов.
Таблица 5 – Заданная малая выборка
| № опыта | Значение случайной величины | № опыта | Значение случайной величины | № опыта | Значение случайной величины | № опыта | Значение случайной величины. |
| 43.4 | 45.2 | 44.6 | 46.2 | ||||
| 43.6 | 45.3 | 44.7 | 46.2 | ||||
| 44.3 | 45.6 | 44.7 | 46.8 | ||||
| 44.5 | 45.8 | 44.8 | 47.2 | ||||
| 44.5 | 45.8 | 45.1 | 47.7 |
3.1.2. Статистическая обработка результатов измерений
Располагая заданные результаты в порядке их возрастания, получим ранжированный вариационный ряд, приведенный в таблице 6.
Таблица 6 – Ранжированный ряд малой выборки
| № опыта | Значение | Разность — | Квадрат разности ( — ) 2 | № опыта | Значение | Разность — | Квадрат разности ( — ) 2 |
| 43.4 | -1.9 | 3.61 | 45.3 | 0.0 | 0.00 | ||
| 43.6 | -1.7 | 2.69 | 45.6 | 0.3 | 0.09 | ||
| 44.3 | -1.0 | 1.0 | 45.8 | 0.5 | 0.25 | ||
| 44.5 | -0.8 | 0.64 | 45.8 | 0.5 | 0.25 | ||
| 44.5 | -0.8 | 0.64 | 46.2 | 0.9 | 0.81 | ||
| 44.6 | -0.6 | 0.49 | 46.2 | 0.9 | 0.81 | ||
| 44.7 | -0.6 | 0.36 | 46.8 | 1.5 | 2.25 | ||
| 44.7 | -0.5 | 0.36 | 47.2 | 1.8 | 3.61 | ||
| 44.8 | -0.5 | 0.25 | 47.7 | 2.4 | 5.76 | ||
| 45.1 | -0.2 | 0.04 | Сумма | ∑=906 | ∑=0 | ∑=24.12 | |
| 45.2 | -0.1 | 0.01 |
Суммируя значения ранжированного вариационного ряда, определяем выборочное среднее
В графе 3 приведены разности между каждой составляющей выборки и выборочным средним , а в графе 4 их квадраты. Суммируя их найдем дисперсию выборки
Для оценки рассеивания случайной величины относительно математического ожидания используются следующие характеристики: среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, показатель точности и доверительный интервал.
Выборочное среднее квадратическое отклонение определяем по формуле
Среднее квадратическое отклонение сводного результата определяем по формуле
Выборочный коэффициент вариации определяем по формуле
Коэффициент вариации показывает, как велико рассеивание результатов в сравнении со средним значением.
Показатель точности определяем по формуле
Показатель точности свидетельствует о точности методики, по которой проводились испытания и получены результаты.
Доверительный интервал выборочных характеристик можно определить при помощи критерия Стьюдента по формуле
где — критерий Стьюдента для уровня доверительной вероятности , обычно принимаемой равной 0.95 или 0.99, и числа степеней свободы =n-1 принимают по статистическим таблицам. Они имеются практически в каждом руководстве по математической статистике. В нашем случае:
а) при =0.95 и =20-1=19 получим 45.3-2.095∙0.252 45.3+2.095∙0.252 и после вычислений 44.77 мм 45.83 мм,
б) при =0.99 и =20-1=19 получим 45.3-2.859∙0.252 45.3+2.859∙0.252 и после вычислений 44.58 мм 46.02 мм.
То есть с увеличением уровня доверительной вероятности доверительный интервал расширяется (45.83-44.77=1.06 мм и 46.02-44.58=1.44 мм).
Проверим теперь принадлежность первого и последнего результатов испытаний (ранжированного вариационного ряда) той же генеральной совокупности, как и остальные 18 результатов. Так как выборка имеет малый объем (n=20), то проверку можно провести при помощи критерия Груббса. Для этого определяют:
а) для первого результата измерений = =1.686;
б) для последнего результата измерений = =2.13.
Так как и =1.686 и =2.13 значительно меньше табличного (критического) значения (при =0.05 и n=20 è =2.623), то нулевая гипотеза подтверждается [5].
3.2. Пример статистической обработки большой (N=80) выборки
3.2.1. Постановка задачи и исходные данные
Для заданной статистической выборки, состоящей из 80 измерений (числа измерений базового размера изделия в мм), приведенных в таблице 7, выполнить статистическую обработку результатов измерений и произвести оценку полученных результатов.
Таблица 7– Заданная большая выборка
| № опыта | Значение случайной величины | № опыта | Значение случайной величины | № опыта | Значение случайной величины | № опыта | Значение случайной величины | № опыта | Значение случайной величины |
| 31.4 | 30.6 | 39.1 | 42.6 | 34.5 | |||||
| 30.6 | 31.7 | 38.5 | 41.8 | 38.2 | |||||
| 30.3 | 32.2 | 38.2 | 34.6 | 35.4 | |||||
| 31.5 | 32.1 | 36.1 | 42.7 | 36.2 | |||||
| 32.5 | 30.9 | 38.2 | 41.7 | 37.1 | |||||
| 30.0 | 34.3 | 42.4 | 43.8 | 40.0 | |||||
| 31.3 | 34.6 | 39.4 | 40.1 | 43.1 | |||||
| 30.0 | 33.9 | 40.7 | 38.0 | 42.7 | |||||
| 31.6 | 32.3 | 41.6 | 38.3 | 41.6 | |||||
| 30.9 | 35.2 | 41.1 | 37.5 | 39.3 | |||||
| 31.6 | 35.3 | 39.7 | 39.3 | 44.4 | |||||
| 31.4 | 35.6 | 37.0 | 39.0 | 36.2 | |||||
| 32.8 | 35.8 | 42.0 | 38.0 | 43.2 | |||||
| 32.4 | 36.8 | 38.3 | 35.4 | 36.8 | |||||
| 32.0 | 39.4 | 32.5 | 35.6 | 37.2 | |||||
| 30.9 | 39.6 | 37.3 | 35.8 | 43.7 |
3.2.2. Статистическая обработка результатов измерений
Вначале располагаем результаты наблюдений по мере их возрастания (таблица 8 – ранжированный вариационный ряд) и определяем наименьшее и наибольшее значения приведенной выборки: = 30.0 мм,
Таблица 8 – Ранжированный ряд большой выборки
| № опыта | Значение случайной величины | № опыта | Значение случайной величины | № опыта | Значение случайной величины | № опыта | Значение случайной величины | № опыта | Значение случайной величины |
| 30.0 | 32.1 | 35.6 | 38.2 | 40.7 | |||||
| 30.0 | 32.2 | 35.6 | 38.2 | 41.1 | |||||
| 30.3 | 32.3 | 35.8 | 38.2 | 41.6 | |||||
| 30.6 | 32.4 | 35.8 | 38.3 | 41.6 | |||||
| 30.6 | 32.5 | 36.1 | 38.3 | 41.7 | |||||
| 30.9 | 32.5 | 36.2 | 38.5 | 41.8 | |||||
| 30.9 | 32.8 | 36.2 | 39.0 | 42.0 | |||||
| 30.9 | 33.9 | 36.8 | 39.1 | 42.4 | |||||
| 31.3 | 34.3 | 36.8 | 39.3 | 42.6 | |||||
| 31.4 | 34.5 | 37.0 | 39.3 | 42.7 | |||||
| 31.4 | 34.6 | 37.1 | 39.4 | 42.7 | |||||
| 31.5 | 34.6 | 37.2 | 39.4 | 43.1 | |||||
| 31.6 | 35.2 | 37.3 | 39.6 | 43.2 | |||||
| 31.6 | 35.3 | 37.5 | 39.7 | 43.7 | |||||
| 31.7 | 35.4 | 38.0 | 40.0 | 43.8 | |||||
| 32.0 | 35.4 | 38.0 | 40.1 | 44.4 |
Определяем размах варьирования результатов измерений
= — =44.4-30.0=14.4 мм
и задавшись числом интервалов =9 (часто число интервалов берут равным 7, 9 или 11, чтобы интервалы были достаточно наполнены частотами), устанавливаем ширину интервала
За ширину интервала принимаем h =1.7 (некоторое увеличение ширины интервала способствует перекрыть правую границу размаха варьирования). Для того, чтобы избежать совпадения отсчетов с границами интервалов при группировке отдельных значений, рекомендуется отступать на половину интервала (0.5 h) влево от нижнего предела варьирования:
= -0.5∙ h =30.0-0.5∙1.7=29.15 мм.
Определяем числовые характеристики заданных случайных величин. Интервальный ряд и его характеристики сводим в таблицу 9. Частость и плотность определялись в соответствии указанных в таблице 9 формул.
Таблица 9 – Интервальный ряд и его характеристики
| Интервалы | Частота m | Накопленная частота mнак | Частость w=m/n | Накопленная частоcть w | Плотность рас-пределения m/h |
| 29.15-30.85 | 0.0625 | 0.0625 | 2.941 | ||
| 30.85-32.55 | 0.2125 | 0.275 | 10.0 | ||
| 32.55-34.25 | 0.025 | 0.3 | 1.176 | ||
| 34.25-35.95 | 0.15 | 0.45 | 7.059 | ||
| 35.95-37.65 | 0.125 | 0.575 | 5.882 | ||
| 37.65-39.35 | 0.15 | 0.725 | 7.059 | ||
| 39.35-41.05 | 0.0875 | 0.8125 | 4.118 | ||
| 41.05-42.75 | 0.125 | 0.9375 | 5.882 | ||
| 42.75-44.45 | 0.0625 | 1.0 | 2.941 | ||
| Сумма | — | 1.000 | — | — |
В таблице 10 выполним вычисления, необходимые для определения выборочных статистик. Последовательность проводимых вычислений ясна из таблицы 6.
Таблица 10 – Интервальный ряд и его статистические характеристики
| № п.п. | Интервал a-b | Средина интервала yj | Частота mj |
| 29.15-30.85 | 30.00 | 150.0 | 4500.0 |
| 30.85-32.55 | 31.70 | 538.9 | 17083.1 |
| 32.55-34.25 | 33.40 | 66.8 | 2231.1 |
| 34.25-35.95 | 35.10 | 421.2 | 14784.1 |
| 35.95-37.65 | 36.80 | 368.0 | 13542.4 |
| 37.65-39.35 | 38.50 | 462.0 | 17787.0 |
| 39.35-41.05 | 40.20 | 281.4 | 11312.3 |
| 41.05-42.75 | 41.90 | 419.0 | 17556.1 |
| 42.75-44.45 | 43.60 | 218.0 | 9504.8 |
| Сумма | 2925.3 |
Вычислим выборочное среднее значение искомого линейного размера по формуле (2)
Далее вычисляем дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, показатель точности и доверительный интервал:
= [108301- ·(2925.3) 2 ]= 16.882 мм 2 .
— среднее квадратичное отклонение = =4.109 мм,
— коэффициент вариации =
— показатель точности = ∙100%=1.26%, где — средняя квадратическая ошибка сводного результата измерений или стандарт арифметической средней, который равен = =0.4594.
— доверительный интервал выборочных характеристик можно определить при помощи критерия Стьюдента по формуле
где — критерий Стьюдента для уровня доверительной вероятности обычно принимаемой равной 0.95 или 0.99 и числа степеней свободы k=n-1 находится по статистическим таблицам. В нашем случае:
а) при =0.95 и k=80-1=79 получим 36.566-1.990∙0.4594 36.566+1.990∙0.4594 и после вычислений 35.65 мм 37.48 мм,
б) при =0.99 и k=80-1=79 получим 36.566-3.639∙0.4594 36.566+3.639∙0.4594 и после вычислений 34.89 мм 38.24 мм.
То есть с увеличением уровня доверительной вероятности доверительный интервал расширяется (37.48-35.65=1.83 мм и 38.24-34.89=3.35 мм).
Определяем структурные средние выборки – медиану ( ) и моду ( ). Медиана – это среднее значение ранжированного ряда. Для нечетного числа наблюдений ранжированного ряда она равна значению измерения, занимающего серединное положение. Для четного числа измерений ранжированного ряда она равна среднему арифметическому значению двух измерений, занимающих серединное положение. В нашем случае
Для интервального ранжированного вариационного ряда медиану можно определить по приближенной формуле, но удобнее это выполнить графическим способом. Для этого строится кумулятивная кривая
Мода – это наиболее часто встречающееся измерение в ранжированном вариационном ряду.
Проведем проверку нулевой гипотезы. Проверим принадлежность первого и последнего результатов ранжированного вариационного ряда той же генеральной совокупности, как и остальные 78 результатов. Так как выборка имеет большой объем (n>25), то проверку можно провести при помощи критерия Ирвина. Для этого вычислим значение для первого и последнего результатов ранжированного вариационного ряда:
= = =0.146, что значительно меньше критического значения (из таблицы 4 [5] для N=80 и любой вероятности è >0.84). Так как найденные значения для первого-второго и последнего результатов ранжированного вариационного ряда меньше >0.84, то нулевая гипотеза подтверждается и найденные ранее числовые статистические характеристики распределения не подвергаются корректировке.
Аналогично можно провести проверку нулевой гипотезы по t-критерия Стьюдента. Вычислим величину критерия по формуле (15)
= = =1.907 и сравниваем его с критическим значением t-критерия Стьюдента, найденной по статистическим таблицам по выбранному уровню значимости =0.05 и числу степеней свободы = -1=80-1=79 ( =1.99). Так как =1.907 =1.99, то проверяемый результат не исключается из выборки и ранее найденные числовые характеристики распределения не подвергают корректировке.
Замечание. Для наглядности можно построить гистограмму и кривую распределения или кривую плотности вероятностей. Они является графиком соотношения между значениями данной случайной величины и их вероятностями. В теории вероятности это соотношение называется статистическим распределением. Известны много видов распределения, но наиболее часто применяется нормальное (гауссовское) распределение, играющее важную роль в теории вероятностей и математической статистике. На рисунке изображены гистограмма для большой выборки и нормальная кривая распределения (кривая Гаусса). Порядок их построения следующий:
I-гистограмма. По оси абсцисс откладываются в выбранном масштабе все интервалы, а по оси ординат, тоже в выбранном масштабе, частости по каждому из интервалов (заштрихованные прямоугольники на диаграмме).
II-кривая нормального распределения. От центра распределения (вершины кривой) влево и вправо откладываются три характерные точки кривой нормального распределения: ; ±S; ±2S; ±3S. Затем для этих характерных точек вычисляются ординаты (теоретические частоты) кривой нормального распределения по формулам:
Источник
Статистическая обработка результатов измерений.
Статистическая обработка результатов измерений – обработка измерительной информации с целью получения достоверных данных. Разнообразие задач, решаемых с помощью измерений, определяет и разнообразие видов статистической обработки их результатов.
Задача статистической обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится истинное значение.
Статистическая обработка используется для повышения точности измерений с многократными наблюдениями, а также определения статистических характеристик случайной погрешности.
Для прямых однократных измерений статистическая обработка менее сложна и громоздка, что значительно упрощает оценку погрешностей.
Статистическую обработку результатов косвенных измерений производят, как правило, методами, основанными на раздельной обработке аргументов и их погрешностей, и методом линеаризации.
Наиболее распространенные совместные измерения обрабатываются разными статистическими методами. Среди них широко известен и часто применяется метод наименьших квадратов.
Прямые измерения с многократными наблюдениями.
Необходимость в многократных наблюдениях некоторой физической величины возникает при наличии в процессе измерений значительных случайных погрешностей. При этом задача обработки состоит в том, чтобы по результатам наблюдений определить наилучшую (оптимальную) оценку измеряемой величины и интервал, в котором она находится с заданной вероятностью. Данная задача может быть решена способом статистической обработки результатов наблюдений, основанным на гипотезе о распределении погрешностей результатов по нормальному закону.
Порядок такой обработки должен соответствовать государственному стандарту и рекомендациям по метрологии.
Итак, рассмотрим группу из n независимых результатов наблюдений случайной величины x, подчиняющейся нормальному распределению. Оценка рассеяния единичных результатов наблюдений в группе относительно их среднего значения вычисляется по формуле:
Поскольку число наблюдений в группе, на основании результатов которых выполнено вычисление среднего арифметического, ограничено, то, повторив заново серию наблюдений этой же величины, мы получили бы новое значение среднего арифметического. Повторив многократно наблюдения и вычисляя каждый раз их среднее арифметическое значение, принимаемое за результат наблюдений (измерений), обнаружим рассеяние среднего арифметического значения.
Характеристикой этого рассеяния является средний квадрат отклонения среднего арифметического:
Среднее квадратичное отклонение среднего арифметического используется для оценки погрешности результата измерений с многократными наблюдениями.
Теория показывает, что если рассеяние результатов наблюдения в группе подчиняется нормальному закону, то и их среднее арифметическое тоже подчиняется нормальному закону распределения при достаточно большом числе наблюдений (n>50). Отсюда при одинаковой доверительной вероятности доверительный интервал среднего арифметического в 
ỳже, чем доверительный интервал результата наблюдений. Теоретически случайную погрешность результата измерений можно было бы свести к 0, однако практически это невозможно, да и не имеет смысла, так как при уменьшении значения случайной погрешности определяющим в суммарной погрешности становится значение не исключенных остатков систематической погрешности.
При нормальном законе распределения плотности вероятностей результатов наблюдений и небольшом числе измерений среднее арифметическое подчиняется закону распределения Стьюдента с тем же средним арифметическим 
. Особенностью этого распределения является то, что доверительный интервал с уменьшением числа наблюдений расширяемся по сравнению с нормальным законом распределения при этой же доверительной вероятности. В формуле для оценки доверительных границ случайной погрешности это отражается введением коэффициента tq вместо t:
Коэффициент распределения Стьюдента зависит от числа наблюдений и выбранной доверительной вероятности и находится по таблице. Например, для n=4 и 
=0,95 tq=3,182; n=5 при =0,95 tq=2,776; для n=10 tq=2,262; n=15 tq=2,145 при той же =0,05.
Правила обработки результатов измерения с многократными наблюдениями учитывают следующие факторы:
— обрабатывается группа из n наблюдений (то есть группа ограничена);
— результаты наблюдений могут содержать систематическую погрешность;
— в группе наблюдений могут встречаться грубые погрешности;
— распределение случайных погрешностей может отличаться от нормального.
Обработка результатов наблюдения производится в следующей последовательности:
1) Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдения (введением поправки);
2) Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат наблюдений:
3) Вычислить оценку среднего квадратичного отклонения результата наблюдения:
4) Вычислить оценку среднего квадратичного отклонения среднего арифметического 
по формуле:
5) Проверить гипотезу о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению.
6) Вычислить доверительные границы e случайной погрешности результата измерения при заданной вероятности P:
,
где 
— коэффициенты Стьюдента
7) Вычислить границы суммарной неисключенной систематической погрешности (НСП) результата измерения.
При равномерном распределении НСП границы НСП вычисляют по формуле:
,
где 
— граница i-той НСП, k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при =0,95 
=1,1); m – число неисключенных составляющих систематической погрешности.
8) Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.
границы погрешности результата измерения вычисляют по формуле:
,
где k – коэффициент, определяемый как
9) Записать результат измерения в регламентированной стандартом форме:
а) при симметричном доверительном интервале погрешности результата измерения 
, где x – результат измерения;
б) при отсутствии данных о виде функции распределения составляющих погрешности результата или при необходимости использования данных для дальнейшей обработки результатов, результат представляют в форме: 
Дата добавления: 2018-06-01 ; просмотров: 5477 ; Мы поможем в написании вашей работы!
Источник
Обработка результатов испытаний виды обработки статистической информации
Методы статистической обработки результатов испытаний
Soils. Methods of statistical treatment of test results
Дата введения 2013-07-01
Цели, основные принципы и основной порядок проведения работ по межгосударственной стандартизации установлены ГОСТ 1.0-92 "Межгосударственная система стандартизации. Основные положения" и ГОСТ 1.2-2009 "Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосударственные, правила и рекомендации по межгосударственной стандартизации. Правила разработки, принятия, применения, обновления и отмены"
Сведения о стандарте
1 РАЗРАБОТАН Научно-исследовательским, проектно-изыскательским и конструкторско-технологическим институтом оснований и подземных сооружений им. Н.М.Герсеванова (НИИОСП им. Н.М.Герсеванова), ОАО "НИЦ "Строительство" при участии Национального объединения изыскателей (НОИЗ), Московского геологоразведочного института (МГРИ — РГГРУ)
2 ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК 465 "Строительство"
3 ПРИНЯТ Межгосударственной научно-технической комиссией по стандартизации, техническому нормированию и оценке соответствия в строительстве (приложение В к протоколу N 40 от 4 июня 2012 г.)
За принятие проголосовали:
Краткое наименование страны по МК (ИСО 3166) 004-97
Сокращенное наименование органа государственного управления строительством
Государственный комитет градостроительства и архитектуры
Министерство строительства и регионального развития
Министерство регионального развития
Министерство регионального развития, строительства и жилищно-коммунального хозяйства
4 Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 29 октября 2012 г. N 597-ст межгосударственный стандарт ГОСТ 20522-2012 введен в действие в качестве национального стандарта Российской Федерации с 01 июля 2013 г.
Информация о введении в действие (прекращении действия) настоящего стандарта публикуется в ежемесячно издаваемом указателе "Национальные стандарты".
Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодно издаваемом информационном указателе "Национальные стандарты", а текст изменений и поправок — в ежемесячно издаваемых информационных указателях "Национальные стандарты". В случае пересмотра или отмены настоящего стандарта соответствующая информация будет опубликована в ежемесячно издаваемом информационном указателе "Национальные стандарты"
1 Область применения
Настоящий стандарт устанавливает применяемые при инженерно-геологических изысканиях, проектировании и строительстве методы статистической обработки результатов испытаний грунтов, составляющих различные грунтовые объекты (основания сооружений, массивы, вмещающие подземные сооружения, сооружения из грунта, склоны и т.д.).
Данные методы применяют для статистической обработки результатов определений физических и механических (прочностных и деформационных) характеристик всех грунтов (см. ГОСТ 25100), а также для выделения инженерно-геологических и расчетных грунтовых элементов.
Требования настоящего стандарта не распространяются на параметры прочности и деформируемости грунтов при динамических воздействиях, а также на характеристики крупнообломочных грунтов, получаемые с применением моделирования гранулометрических составов.
2 Нормативные ссылки
В настоящем стандарте использованы ссылки на следующие межгосударственные стандарты:
ГОСТ 12248-2010 Грунты. Методы лабораторного определения характеристик прочности и деформируемости
Примечание — При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов на территории государства по соответствующему указателю "Национальные стандарты", составленному на 1 января текущего года, и по соответствующим информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный стандарт заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом следует руководствоваться заменяющим (измененным) стандартом. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.
3 Термины и определения
В настоящем стандарте применены следующие термины с соответствующими определениями:
3.1 вероятность: Числовая характеристика возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных условиях, которые могут повторяться неограниченное число раз, выражаемая в долях единицы или процентах. Вероятности, с которыми характеристики грунтов, трактуемые как случайные величины, принимают те или иные значения, образуют распределение вероятностей, для установления которого по выборочным данным оценивают один или несколько параметров распределения.
3.2 доверительный интервал: Интервал, вычисленный по выборочным данным, который с заданной вероятностью (доверительной) накрывает неизвестное истинное значение оцениваемого параметра распределения.
3.3 доверительная вероятность: Вероятность того, что доверительный интервал накроет неизвестное истинное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.
3.4 односторонняя доверительная вероятность: Вероятность того, что неизвестное истинное значение параметра не выйдет за пределы нижней (или верхней) границы доверительного интервала.
3.5 среднее значение (выборочное): Среднеарифметическое частных значений, образующих выборку величин, независимых друг от друга и от пространственных координат.
3.6 среднеквадратическое отклонение: Мера отклонения опытных данных от выборочного среднего значения или функциональной зависимости, выражаемая в абсолютных единицах и вычисляемая по формулам (4), (12).
3.7 коэффициент вариации: Мера отклонения опытных данных от выборочного среднего значения, выражаемая в долях единицы или процентах и вычисляемая по формуле (5).
3.8 сравнительный коэффициент вариации: Мера изменчивости величины, зависящая от начала отсчета выборки и вычисляемая по формуле (А.1) приложения А.
3.9 число степеней свободы: Число независимых наблюдений, равное числу определений характеристики минус число оцениваемых статистических параметров.
3.10 метод наименьших квадратов: Метод статистической оценки функциональной зависимости путем установления таких ее параметров, при которых сумма квадратов отклонений опытных данных от этой зависимости является минимальной.
3.11 инженерно-геологический элемент; ИГЭ: Основная грунтовая единица при инженерно-геологической схематизации грунтового объекта, определяемая положениями 4.6.
3.12 расчетный грунтовый элемент; РГЭ: Основная грунтовая единица, выделяемая с учетом применяемого при проектировании грунтового объекта расчетного или экспериментального метода, определяемая по 4.6.
4 Общие положения
4.1 Статистическую обработку результатов испытаний проводят для оценки неоднородности грунтов, выделения ИГЭ, а при необходимости и РГЭ, и вычисления нормативных и расчетных значений характеристик грунтов.
4.2 Опытные данные, для которых проводится статистическая обработка, должны быть получены единым методом испытания.
4.3 Применяемые в настоящем стандарте методы статистической обработки используют нормальный закон распределения вероятностей. При обосновании могут быть использованы и другие законы распределения, например, логарифмически нормальный (см. приложение Б).
4.4 Неоднородность грунта оценивают с помощью коэффициента вариации характеристик грунта (см. 6.4). Для сравнения неоднородности по разным характеристикам может применяться сравнительный коэффициент вариации (см. приложение А).
4.5 Статистическую обработку проводят для частных значений характеристик грунтов или фиксируемых в отдельных испытаниях величин, которые составляют случайную выборку.
При наличии закономерного изменения характеристики в каком-либо направлении (чаще всего с глубиной) статистическую обработку проводят для определения параметров корреляционной зависимости, аппроксимирующей опытные точки линейной или кусочно-линейной функцией.
4.6 Статистическую обработку результатов испытаний выполняют для ИГЭ или РГЭ.
За ИГЭ принимают некоторый объем грунта одного и того же происхождения, подвида или разновидности (см. ГОСТ 25100) при условии, что значения характеристик грунта изменяются в пределах элемента случайно (незакономерно) либо наблюдающаяся закономерность такова, что ею можно пренебречь. В случае выявления закономерности должны выполняться требования 5.5. ИГЭ наделяют постоянными нормативными и расчетными значениями характеристик. Комплекс ИГЭ используют при создании инженерно-геологической модели объекта.
За РГЭ принимают некоторый объем грунта не обязательно одного и того же происхождения, подвида или разновидности, в пределах которого нормативные и расчетные значения характеристик по условиям применяемого расчетного или экспериментального метода проектирования объекта могут быть постоянными или закономерно изменяющимися по направлению (чаще всего по глубине). РГЭ может включать в себя один или несколько ИГЭ. Комплекс РГЭ используют при создании расчетной геомеханической модели объекта.
1 Местоположение, конфигурацию и объем ИГЭ и РГЭ устанавливают с учетом сведений об объекте строительства и геологических данных.
2 Выделение РГЭ должно осуществляться совместно изыскателем и проектировщиком.
4.7 Для всех характеристик грунта вычисляют нормативные, а для характеристик, используемых в расчетах, и расчетные значения.
Нормативные значения характеристик определяют как среднестатистические, получаемые осреднением их частных значений, или отвечающие осредненным по частным значениям аппроксимирующим зависимостям между измеряемыми в опытах величинами (или функционально с ними связанными величинами), или по зависимостям каких-либо из этих величин от координат по одному из направлений.
Расчетное значение получают делением нормативного значения на коэффициент надежности по грунту .
4.8 Коэффициент надежности по грунту должен устанавливаться с учетом изменчивости и числа определений характеристики (числа испытаний) при заданной доверительной вероятности.
1 В расчетное значение характеристики проектировщиком в соответствии с указаниями норм проектирования различных видов сооружений могут вводиться и другие коэффициенты надежности, учитывающие влияние факторов, которые не могут быть учтены статистическим путем.
2 Для отдельных характеристик грунтов по указаниям норм проектирования различных видов сооружений их расчетные значения могут быть приняты равными нормативным значениям.
4.9 Значения доверительной вероятности при вычислении расчетного значения характеристики грунта принимают в соответствии с рекомендациями норм проектирования различных видов сооружений и должны быть указаны в техническом задании и программе работ на проведение инженерно-геологических изысканий.
4.10 Число определений характеристики грунтов, необходимое для вычисления ее нормативного и расчетного значения, может быть установлено из формулы (6) в зависимости от заданных коэффициента вариации характеристики, показателя точности (погрешности) ее среднего значения и доверительной вероятности.
Минимальное число определений характеристик грунтов или фиксируемых в опытах значений должно быть шесть.
5 Выделение инженерно-геологического элемента и расчетного грунтового элемента
5.1 Исследуемую толщу грунтов предварительно разделяют на ИГЭ с учетом их происхождения, текстурно-структурных особенностей, вида, подвида или разновидности (см. ГОСТ 25100), а также сведений об объекте строительства.
Значения характеристик грунтов в каждом предварительно выделенном ИГЭ анализируют с целью установить и исключить значения, резко отличающиеся от большинства значений, если они вызваны ошибками в опытах или принадлежат другому ИГЭ.
5.2 Окончательное выделение ИГЭ проводят на основе оценки характера пространственной изменчивости характеристик грунтов и их коэффициента вариации или сравнительного коэффициента вариации (см. приложение А). При этом необходимо установить, изменяются ли характеристики грунтов в пределах предварительно выделенного ИГЭ случайным образом или имеет место их закономерное изменение в каком-либо направлении.
Для анализа используют физические характеристики, а при достаточном количестве — и механические. Для выделения ИГЭ дополнительно могут быть использованы зондирование, геофизические методы и другие экспресс-методы.
5.3 Для оценки характера пространственной изменчивости характеристик могут быть использованы инженерно-геологические разрезы, планы, а также трехмерные модели. Для выявления закономерного изменения характеристик строят точечные графики изменения их значений по направлению, выявляют корреляционную зависимость показателей свойств от координат.
5.4 Если установлено, что характеристики грунтов изменяются в пределах предварительно выделенного ИГЭ случайным образом, этот элемент принимают за окончательный независимо от значений коэффициента вариации характеристик.
За единый инженерно-геологический элемент могут быть приняты грунты, представленные часто сменяющимися тонкими (менее 20 см) слоями и линзами грунтов различного вида, подвида или разновидности. Слои и линзы, сложенные рыхлыми песками, глинистыми грунтами с показателем текучести более 0,75, органо-минеральными или органическими грунтами и другими грунтами, оказывающими существенное влияние на проектное решение, следует рассматривать как отдельные инженерно-геологические элементы независимо от их мощности.
Примечание — Линзы и прослои, мощность которых не позволяет отобрать достаточное число образцов (см. 4.10), могут быть охарактеризованы нормативными значениями характеристик по единичным определениям. Расчетные значения в этом случае принимают при следующих коэффициентах надежности по грунту : для модуля деформации 1,1; для угла внутреннего трения 
1,1 и 
1,15; для удельного сцепления 
1,25 и 
1,5.
Источник