Обработка результатов измерений с оценкой точности

Обработка результатов измерений

наименьшие разряды результата измерения и численных показателей точности должны быть одинаковыми.

U = 105,0 В, Δ0,95 = ± 1,5 B или U = 105,0 ± 1,5 B.

Обработка результатов измерений

Обработка результатов измерений статистическими методами применяется на практике для решения следующих задач:

определение погрешности средств измерений;

определение соответствия параметров технологического процесса заданной точности изделия;

установление технологического допуска при обработке;

определение точностных характеристик установочных и выборочных партий деталей, с целью контроля и управления качеством продукции;

установление рассеяния показателей качества однотипных изделий и др.

Результаты измерений получаютсяпутём соответствующей обработки результатов наблюдений, показаний полученных с помощью средств измерений.

При этом вводятся следующие понятия:

результат наблюдения— значение величины отсчёта показаний средства измерений, полученное при отдельном измерении;

результат измерения— значение величины, полученное после обработки результатов наблюдений.

При изготовлении и проведении измерений возникают систематические и случайные погрешности.

Систематическиминазывают погрешности, постоянные по величине и знаку или изменяющиеся по определенному закону в зависимости от действия определённых заранее предсказуемых причин.

Систематические погрешности возникают, например, из-за: неточной настройки оборудования, погрешностей измерительного прибора, отклонения рабочей температуры от нормальной (в т.ч. субъективных действий оператора), силовых деформаций, и др.

Случайными называют переменные по величине и знаку погрешности, которые возникают при изготовлении или измерении и принимают то или иное числовое значение в зависимости от ряда случайно действующих причин.

Характерным признаком случайных погрешностей является вариация значений, принимаемых ими в повторных опытах. Погрешности изготовления и измерения являются случайными величинами.

Случайные погрешности трудно устранить, поэтому их влияние учитывают при назначении допуска на размер или на какой-либо другой параметр.

Законы распределения результатов и погрешностей измерения

Нормальный закон распределения

Принимают тогда когда суммарная дополнительная погрешность многих влияющих велечин при этом каждое из них равномерно мало влияет на суммарную погрешность

Равномерный закон распределения

Принимают тогда когда результат измерений погрешностей сосредоточены только в пределах заданного или известного из условий задачи интервала возможных значений величины \

Случайная величина х равномерно распределена на интервале от а до bимеет постоянную плотностьhна том интервале а вне его равно нулю.

Описывает погрешности СИ, обусловленные, например, наличием «наводок» на измерительную цепь от внешних источников гармонических воздействий.

(2.25)

В реальных условиях ЗРСВ имеет форму, которая может приближенно напоминать рассмотренные законы, поэтому их можно применять как базовые для оценки s.

Трапецеидальный и треугольный ЗРСВ

Данные законы являются композицией двух равномерных законов. Значение СКО для них можно определить по следующим формулам:

а) для трапециидального закона

; (2.23)

б) при a = b, получается распределение Симпсона (треугольный закон) и его СКО равно:

. (2.24)

Источник

Оценка точности измерений

1. Оценку точности измерений производят:
— предварительно до начала измерений путем обработки результатов специально выполненных наблюдений;
— после окончания измерений путем обработки результатов наблюдений, выполненных в процессе этих измерений.

2. Для оценки точности измерений используют многократные наблюдения параметра в одном из установленных сечений (мест) или двойные наблюдения параметра в разных сечениях (местах) одного или нескольких объектов измерений.

Общее число наблюдений M, необходимое для оценки точности результата измерений, составляет:

для предварительной оценки — 20;
для оценки точности выполненных измерений — не менее 6.

Для уменьшения влияния систематических погрешностей измерения выполняют в соответствии с требованиями п.6.6 настоящего стандарта.

Для уменьшения влияния систематических погрешностей на результат измерения наблюдения производят в прямом и обратном направлениях, на разных участках шкалы отсчетного устройства, меняя установку и настройку прибора и соблюдая другие приемы, указанные в инструкции по эксплуатации на средства измерения. При этом должны быть соблюдены условия равноточности наблюдений (выполнение наблюдений одним наблюдателем, тем же методом, с помощью одного и того же прибора и в одинаковых условиях).

Перед началом наблюдений средства измерений следует выдерживать на месте измерений до выравнивания температур этих средств и окружающей среды.

3. Оценку точности измерений производят путем определения действительной погрешности измерения
и сравнения ее с предельной погрешностью
В случаях, когда нормирована относительная погрешность измерения, определяют действительную относительную погрешность.

4. Действительную погрешность измерения при многократных наблюдениях определяют по формуле

Источник

Обработка результатов измерений с оценкой точности

Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины :

Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде

Читайте также:  Акт об использовании результатов диссертационной работы

Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.

Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде

Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм .

Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P.

Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой

где Δx – отклонение от величины истинного значения;

σ – истинная среднеквадратичная ошибка;

σ 2 – дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.

Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0 , кроме того, она является четной.

На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx1 и Δx2 (заштрихованная площадь на рис.16) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx1,Δx2) .

Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2)

где – n число измерений.

Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению μ измеряемой величины при n → ∞.

Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ

С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.

Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:

Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.

В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.

Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом
Стьюдента t.

Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;
– среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

    Из сказанного следует:
  1. Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.
  2. При n → ∞ → 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение μ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.

Для этого удобнее воспользоваться таблицей 3, в которой интервалы заданы в долях величины σ, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.

Таблица 2
Таблица 3
Необходимое число измерений для получения ошибки Δ с надежностью Р

&#916 = Δx/σ Значения Р
0.5 0.7 0.9 0.95 0.99 0.999
1.0 2 3 5 7 11 17
0.5 3 6 13 18 31 50
0.4 4 8 19 27 46 74
0.3 6 13 32 46 78 127
0.2 13 29 70 99 171 277
0.1 47 169 273 387 668 1089

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

  1. Результат каждого измерения запишите в таблицу.
  2. Вычислите среднее значение из n измерений

Рассмотрим на числовом примере применение приведенных выше формул.

Пример. Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм ). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую – их квадраты (таблица 4).

Таблица 4
n d, мм
1 4.02 + 0.01 0.0001
2 3.98 — 0.03 0.0009
3 3.97 — 0.04 0.0016
4 4.01 + 0 .00 0.0000
5 4.05 + 0.04 0.0016
6 4.03 + 0.02 0.0004
Σ 24.06 0.0046

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t = 2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле (10).

Источник



Обработка результатов измерений с оценкой точности

ГОСТ Р 8.736-2011

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственная система обеспечения единства измерений

ИЗМЕРЕНИЯ ПРЯМЫЕ МНОГОКРАТНЫЕ

Методы обработки результатов измерений. Основные положения

State system for ensuring the uniformity of measurements. Multiple Direct measurements. Methods of measurement results processing. Main positions

Дата введения 2013-01-01

Предисловие

1 РАЗРАБОТАН Федеральным государственным унитарным предприятием "Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им.Д.И.Менделеева" (ФГУП "ВНИИМ им.Д.И.Менделеева")

2 ВНЕСЕН Управлением метрологии Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

4 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

5 ПЕРЕИЗДАНИЕ. Март 2019 г.

Правила применения настоящего стандарта установлены в статье 26 Федерального закона от 29 июня 2015 г. N 162-ФЗ "О стандартизации в Российской Федерации". Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодном (по состоянию на 1 января текущего года) информационном указателе "Национальные стандарты", а официальный текст изменений и поправок — в ежемесячном информационном указателе "Национальные стандарты". В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ближайшем выпуске ежемесячного информационного указателя "Национальные стандарты". Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет (www.gost.ru)

1 Область применения

Настоящий стандарт распространяется на прямые многократные независимые измерения и устанавливает основные положения методов обработки результатов этих измерений и вычисления погрешностей оценки измеряемой величины.

В настоящем стандарте учтены требования, предъявляемые к методам и результатам измерений в соответствии с ГОСТ Р ИСО 5725-1, ГОСТ Р ИСО 5725-2, ГОСТ Р ИСО 5725-3, ГОСТ Р ИСО 5725-4, ГОСТ Р ИСО 5725-5, ГОСТ Р ИСО 5725-6.

2 Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на следующие стандарты:

ГОСТ Р ИСО 5725-1 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 1. Основные положения и определения

ГОСТ Р ИСО 5725-2 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 2. Основной метод определения повторяемости и воспроизводимости стандартного метода измерений

ГОСТ Р ИСО 5725-3 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 3. Промежуточные показатели прецизионности стандартного метода измерений

ГОСТ Р ИСО 5725-4 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 4. Основные методы определения правильности стандартного метода измерений

ГОСТ Р ИСО 5725-5 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 5. Альтернативные методы определения прецизионности стандартного метода измерений

ГОСТ Р ИСО 5725-6 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 6. Использование значений точности на практике

Примечание — При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет или по ежегодному информационному указателю "Национальные стандарты", который опубликован по состоянию на 1 января текущего года, и по выпускам ежемесячного информационного указателя "Национальные стандарты" за текущий год. Если заменен ссылочный стандарт, на который дана недатированная ссылка, то рекомендуется использовать действующую версию этого стандарта с учетом всех внесенных в данную версию изменений. Если заменен ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, то рекомендуется использовать версию этого стандарта с указанным выше годом утверждения (принятия). Если после утверждения настоящего стандарта в ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, внесено изменение, затрагивающее положение, на которое дана ссылка, то это положение рекомендуется применять без учета данного изменения. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, рекомендуется применять в части, не затрагивающей эту ссылку.

3 Термины и определения

В настоящем стандарте применены следующие термины с соответствующими определениями.

результат измерения физической величины; результат измерения; результат: Значение величины, полученное путем ее измерения.

[Рекомендации по межгосударственной стандартизации [1], статья 8.1]

3.2 неисправленный результат измерений величины: Результат измерений величины, полученный до введения в него поправки в целях устранения систематических погрешностей.

3.3 исправленный результат измерений величины: Результат измерений величины, полученный после введения поправки в целях устранения систематических погрешностей в неисправленный результат измерений величины.

3.4 неисправленная оценка измеряемой величины: Среднее арифметическое значение результатов измерений величины до введения в них поправки в целях устранения систематических погрешностей.

3.5 исправленная оценка измеряемой величины: Среднее арифметическое значение результатов измерений величины после введения поправки в целях устранения систематических погрешностей в неисправленную оценку измеряемой величины.

3.6 группа результатов измерений величин: Несколько результатов измерений (не менее четырех, 4), полученных при измерениях одной и той же величины, выполненных с одинаковой тщательностью, одним и тем же средством измерений, одним и тем же методом и одним и тем же оператором.

3.7 погрешность измерения: Разность между результатом измерения величины и действительным (опорным) значением величины.

3.8 случайная погрешность измерения; случайная погрешность: Составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях одной и той же величины, проведенных с одинаковой тщательностью.

3.9 систематическая погрешность измерения; систематическая погрешность: Составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины, проведенных с одинаковой тщательностью.

3.10 неисключенная систематическая погрешность измерения: Составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью оценивания систематической погрешности, на которую введена поправка, или систематической погрешностью, на которую поправка не введена.

3.11 грубая погрешность измерения: Погрешность измерения, существенно превышающая зависящие от объективных условий измерений значения систематической и случайной погрешностей.

4 Общие положения

4.1 Необходимость выполнения прямых многократных измерений устанавливают в конкретных методиках измерений.

Примечание — Под многократными измерениями понимают не менее четырех измерений.

4.2 При статистической обработке группы результатов прямых многократных независимых измерений выполняют следующие операции:

— исключают известные систематические погрешности из результатов измерений;

— вычисляют оценку измеряемой величины;

— вычисляют среднее квадратическое отклонение результатов измерений;

— проверяют наличие грубых погрешностей и при необходимости исключают их;

— проверяют гипотезу о принадлежности результатов измерений нормальному распределению;

— вычисляют доверительные границы случайной погрешности (доверительную случайную погрешность) оценки измеряемой величины;

— вычисляют доверительные границы (границы) неисключенной систематической погрешности оценки измеряемой величины;

— вычисляют доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины.

4.3 Проверку гипотезы о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению, проводят с уровнем значимости от 10% до 2%. Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны в конкретной методике измерений.

4.4 Для определения доверительных границ погрешности оценки измеряемой величины доверительную вероятность принимают равной 0,95.

В случаях, когда измерение не представляется возможным повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности 0,95, допускается указывать границы для доверительной вероятности 0,99.

В особых случаях, например при измерениях, результаты которых имеют значение для здоровья людей, допускается кроме доверительной вероятности 0,99 указывать более высокую доверительную вероятность.

4.5 В настоящем стандарте изложены требования к методам обработки результатов измерений и к оцениванию точности измеряемой величины посредством погрешностей.

5 Оценка измеряемой величины и среднее квадратическое отклонение

5.1 Оценку измеряемой величины , за которую принимают среднее арифметическое значение исправленных результатов измерений, вычисляют по формуле

, (1)

где — -й результат измерений;

— число исправленных результатов измерений.

Примечание — Если во всех результатах измерений содержится постоянная систематическая погрешность, ее допускается исключить из вычисленного среднего арифметического значения неисправленных результатов измерений.

5.2 В целях удобства вычислений формулу (1) допускается записать в виде

, (2)

где — близкое к значение, удобное для расчета;

.

5.3 Среднее квадратическое отклонение группы, содержащей результатов измерений, вычисляют по формуле

. (3)

Примечание — Наличие случайных погрешностей вызывает рассеяние результатов измерений. В качестве основной числовой характеристики случайного рассеяния результатов измерений принята дисперсия или стандартное отклонение . Ограниченное число результатов измерений позволяет получать лишь оценки этих характеристик ( и ). Математическое ожидание оценки равно дисперсии , однако математическое ожидание оценки отлично от , так как оценка смещена.

Несмещенную оценку допускается вычислять по упрощенной формуле

.

Источник