Вероятностные оценки погрешности измерения

Вероятностные оценки погрешности измерения

Погрешность измеренияΔ – это случайная величина, проявляющаяся в непредсказуемых случайных изменениях результата измерения одной и той же величины в неизменных условиях одним и тем же средством измерения, одним и тем же наблюдателем. Результат измерения х – также случайная величина и характеризуется математическим ожиданием М[х] и дисперсией D[x] (или СКО ). Численные значения этих параметров находятся путём многократных измерений за интервал времени Т (то есть это – статистические измерения, и обрабатываются ониметодами теории вероятности).

Однако большинство измерений выполняется путём однократного наблюдения, и показания прибора принимают за результат измерения с максимальной абсолютной погрешностьюΔ_max. Она определяется по классу точности δ_кп прибора:

, (4.4)

где А_К – предел диапазона измерения.

Погрешность измерения Δ есть сумма систематической Δ_с и случайной составляющих: Δ = Δ_с + . Систематическая погрешность остаётся постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины – это математическое ожидание погрешности измерения: Δ_с = М[Δ]. Случайная погрешность является случайной величиной с математическим ожиданием равным нулю: M[ ] = 0.

Средства измерений

Средствами электрических измеренийназываются технические средства, используемые при электрических измерениях и имеющие нормированные метрологические характеристики.Мера – средство измерений, предназначенное для воспроизведения физической величины заданного размера. Различают однозначные меры, многозначные меры и наборы мер.

Измерительный прибор – средство измерений, предназначенное для выработки сигналов измерительной информации, т. е. информации о значениях измеряемой величины, в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем.

Измерительные преобразователи – средства измерений предназначенные для выработки сигналов измерительной информации в форме, удобной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки и (или) хранения, но не поддающейся непосредственному восприятию наблюдателем.Некоторые виды ИП названы датчиками – под ними понимают ИП, размещенные непосредственно на объекте измерения и удаленные от места отображения, обработки или регистрации информации.

Измерительная установка – совокупность функционально и конструктивно объединенных средств измерений и вспомогательных устройств, предназначенных для рациональной организации измерений. Измерительные системы – совокупность средств измерений и вспомогательных устройств, соединенных между собой каналами связи. Каналы связи могут быть как проводными (кабельными), так и радио. В этом случае ИС называют телеизмерительными.

4.1.4.1 Метрологические характеристики средств измерения. Нормирование метрологических характеристик

Под метрологическими характеристиками (МХ) понимают характеристики свойств средств измерений, оказывающие влияние на результаты и погрешности измерений. Перечень МХ устанавливают ГОСТ 8.009-78 и ГОСТ 22261-82. Одной из основных МХ является погрешность.

К метрологическим характеристикам относят входное и выходное полное сопротивления (Z _ВХ и Z _ВЫХ). Это важный показатель. Предпочтительны высокие Z _ВХ и низкие Z _ВЫХ.

4.1.4.2 Способы выражения и нормирования пределов допускаемых погрешностей

В соответствии с ГОСТ 8.401-80 пределы допускаемой основной и дополнительной погрешности средств измерений могут устанавливаться в видеабсолютных, относительных или приведенных погрешностей или в виде определенного числа делений шкалы. Предел допускаемой абсолютнойпогрешности выражается: одним значением D = ± а; в виде линейной зависимости D = ± (а + bх),где «а»–— аддитивная, а «bх» – мультипликативнаясоставляющие погрешности[10].

Предел относительнойпогрешности выражается в процентах одной из следующих формул:

d = (D / Х) х 100 % = ± с ,илиd = ± [ c +d [ (Х _К / Х) – 1] ] ,(4.5)

где c, d – постоянные числа, Х_К –конечное значение диапазона измерений.

Обобщенной метрологической характеристикойсредств измерений является класс точности, который определяет допускаемые пределы всех погрешностей. У приборов, аддитивная составляющая погрешности которыхпреобладает над мультипликативной, класс точности выражаетсяодним числом, выбираемым из ряда 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6; 10 N где N = 1, 0, – 1, – 2,и т. д.

У приборов с соизмеримыми аддитивными и мультипликативными составляющими основной погрешности класс точности обозначаетсяотношением двух чисел c/d.Класс точности должен удовлетворять условию c > d, в противном случае следует пользоваться выражением класса точности одним числом.

Предельное значение основной относительной погрешности не должно быть меньше предельного значения реальной погрешности : откуда:

Источник

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

В результате измерения получают значение измеряемой вели­чины в виде числа в принятых единицах величины. Погрешность измерения тоже удобно выражать в виде числа. Однако погреш­ность измерения является случайной величиной, исчерпывающим описанием которой может быть только закон распределения. Из теории вероятностей известно, что закон распределения можно охарактеризовать числовыми характеристиками, которые и используются для количественной оценки погрешности.

Основными числовыми характеристиками законов распреде­ления являются математическое ожидание и дисперсия, которые определяются выражениями:

где М — символ математического ожидания; D— символ дис­персии.

Математическое ожидание погрешностиизмерений есть не­случайная величина, относительно которой рассеиваются другие значения погрешностей при повторных измерениях. Математиче­ское ожидание характеризует систематическую составляющую погрешности измерения. Как числовая характе­ристика погрешности М [Δх] показывает на смещенность резуль­татов измерения относительно истинного значения измеряемой величины.

Дисперсия погрешностиD [Δх] характеризует степень рассеи­вания (разброса) отдельных значений погрешности относительно математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс, тем точнее выполне­ны измерения. Следовательно, дисперсия может служить харак­теристикой точности проведенных измерений. Однако дисперсия выражается в единицах погрешности в квадрате. Поэтому в ка­честве числовой характеристики точности измерений используют среднее квадратическое отклонение

с положи­тельным знаком и выражаемое в единицах погрешности.

Обычно при проведении измерений стремятся получить ре­зультат измерения с погрешностью, не превышающей допускае­мое значение. Знание только среднего квадратического отклоне­ния не позволяет найти максимальную погрешность, которая может встретиться при измерениях, что свидетельствует об огра­ниченных возможностях такой числовой характеристики погрешности, как σ(Δх). Более того, при разных условиях измерений, когда законы распределения погрешностей могут отличаться друг от друга, погрешность с меньшей дисперсией может прини­мать большие значения.

Максимальные значения погрешности зависят не только от σ(Δх), но и от вида закона распределения. Когда распределение погрешности теоретически неограниченно, например при нор­мальном законе распределения, погрешность может быть любой по значению. В этом случае можно лишь говорить об интервале, за границы которого погрешность не выйдет с некоторой веро­ятностью. Этот интервал называют доверительным интервалом, характеризующую его вероятность — доверительной вероятно­стью, а границы этого интервала — доверительными значениями погрешности. В практике измерений применяют различные значения дове­рительной вероятности, например: 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973 и 0,999. Доверительный интервал и доверительную веро­ятность выбирают в зависимости от конкретных условий измере­ний. Так, например, при нормальном законе распределения слу­чайных погрешностей со средним квадратическим отклонением σ()часто пользуются доверительным интервалом от +3σ() до —3σ(), для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3σ(). Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десят­ков, появление даже одной случайной погрешности, большей, чем 3σ() , маловероятное событие, наличие же двух подобных по­грешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным основанием утверждать, что все возможные случайные погрешно­сти измерения, распределенные по нормальному закону, практи­чески не превышают по абсолютному значению 3σ() (правило «трех сигм»).

Любая из форм представления результата измерения должна содержать данные, на основании которых может быть определен доверитель­ный интервал для погрешности результата измерения. В общем случае доверительный интервал может быть установлен, если известен вид закона распределений погрешности и основные чис­ловые характеристики этого закона.

Источник

1.1.1. Вероятностные оценки погрешностей прямых измерений

При измерении какой-либо величины, если случайные ошибки являются определяющими, их оценка может быть произведена только с некоторой вероятностью. Поэтому мало определить лишь величину случайной ошибки, но необходимо и указать вероятность появления ошибки данной величины. Для определения случайной ошибки измерение следует повторить несколько раз, причем, чем больше число измерений, тем достовернее результаты. За наиболее вероятное значение измеряемой величины обычно принимают ее среднее арифметическое значение, вычисленное из всего ряда измеренных значений.

Допустим сделано измерений. Разумеется все они проделаны одним и тем же методом с одинаковой степенью тщательности. Такие измерения называют равноточными.

Предположим, что истинное значение измеряемой величины равно и выполненоаналогичных измерений, результаты которых равны. Каждый из результатов, подлежащих совместной обработке для получения результата измерения, называют результатом наблюдения.

Результатом измерения является оценка значения измеряемой величины, вычисленная на основании всей совокупности результатов наблюдений. Разностьесть погрешность-го наблюдения.

Случайные ошибки измерения подчиняются определенному закону распределения. Обнаружить этот закон можно путем многократных испытаний, проводя измерение одной и той же величины в одних и тех же условиях одинаковым способом. При этом можно заметить, что частота попадания какого-либо значения в отмеченный интервал близка к некоторому постоянному числу, своему для каждого интервала.

В вероятностной модели случайные ошибки (где— истинное значение измеряемой величины, а— результат измерения), а следовательно и сами результаты измерения рассматриваются как случайные величины, причем каждому интервалу () соответствует вполне определенная вероятность попадания случайной величиныв этот интервал, обозначаемая.

Функция, определяющая закон распределения вероятностей, записывается в виде

, где — некоторая функция, удовлетворяющая условию

.

Закон распределения позволяет находить вероятностьпопадания случайной величиныв интервал. Функцияназывается плотностью распределения.

Чаще всего в качестве закона распределения выбирается закон Гаусса или нормальный закон распределения.

В основе этого закона лежат следующие соображения:

1. Считается, что ошибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений.

2. Ошибки одинаковой величины, но разного знака равновероятностны, т.е. при большом числе измерений появляются одинаково часто.

3. Частота появления ошибок тем больше, чем меньше величина ошибки.

Плотность нормального распределения равна , где параметрхарактеризует точность измерений. График плотности распределения вероятностей называется кривой распределения. Вид кривой распределения зависит от параметра. Чем меньше, тем быстрее убывает плотность распределенияс возрастанием.

Предположим, что имеются результаты измерений некоторой физической величины . Все они несколько отличаются друг от друга, и, следовательно, от истинного, пока неизвестного нам значения, которое обозначим. Еслиабсолютная погрешность отдельногого измерения, то результаты измерений можно представить в виде

, причем могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Произведя суммированиеполученных значений, находим

.

Введем понятие среднеарифметического значения, которым будем называть

.

Ранее мы предположили, что положительные и отрицательные ошибки одной и той же величины равновероятны, откуда следует, что при достаточно большом числе измерений

.

Последнее позволяет утверждать, что при большом числе измерений истинное значение величины совпадает со среднеарифметическим результатом измерений. Однако, т.к. обычно число измерений конечно, среднеарифметическое значение результатов измерений отличается от истинного значения и возникает необходимость вероятностной оценки ошибки, получающейся вследствие принятия вместо истинного значения измеряемой величины среднеарифметического значения результатов измерений.

Считая величину ошибки случайной величиной, вероятность ее появления опишем законом нормального распределения:

, где индекс указывает на то, что речь идет о распределении вероятностей появления ошибки отдельного измерения

, где — истинное значение,— результат.

Если известен закон распределения, то, зная , можно определить ошибку измерения. Обычно интерес представляет не только абсолютная величина ошибки, но и вероятность попадания случайной величины в тот или иной интервал, т.е. задаются некоторые предельные значения ошибок, для которых определяется вероятность.

Назовем доверительным интервалом такой интервал , в который по определению попадает истинное значениеизмеряемой величины с заданной вероятностью.

Надежностью результата называется вероятность того, что истинное значение попадает в данный доверительный интервал. Надежность обычно выражается в долях единицы или в процентах. Чем больше величина доверительного интервала, т.е. чем больше задаваемая ошибка, тем с большей надежностью искомая величинапопадает в этот интервал.

Непосредственно из опытов величина дисперсии не может быть установлена, т.к. нам неизвестно истинное значение измеряемой величины и— конечно.

Эмпирическим среднеквадратичным отклонением называется величина , определяемая формулой

,

величину иногда называют выборочной дисперсией или дисперсией выборки. Деление напо той причине, что нашеотличается от, если рассматривается конечная выборка, а не вся совокупность. В этом случае сумма квадратов отклоненийнесколько меньше, чем при. При делении навместоэта погрешность будет частично скорректирована.

Если . В отличие отвеличина дисперсии выборки может быть найдена по результатам экспериментов.

Величина надежности будет зависеть от числапроизведенных измерений, а также от величины задаваемой погрешности. Если число измеренийвелико (практически, то для определения границ доверительного интервала, используя закон нормального распределения, можно получить, где— коэффициент, зависящий от надежности. Значения коэффициентаприводятся в таблице 1.1 Приложение 1.1.

При числе измерений величинасама является случайной величиной и не может служить надежной оценкой для, поэтому для нахождения границ доверительного интервала следует учитывать поправку, известную как коэффициент Стьюдента (таблица 1.2 Приложение 1.2).

— коэффициент Стьюдента.

Полученные таким способом значения доверительного интервала характеризуют погрешность отдельного результата, или погрешность метода измерений.

Учитывая сказанное, в дальнейшем будем считать, что величина достаточно близка к, и вместобудем употреблять.

Среднее арифметическое из ряда измерений всегда имеет меньшую погрешность, чем погрешность каждого отдельного измерения

, где — число измерений.

Из этого результата следует, что если необходимо повысить точность результата (при исключенной систематической погрешности) в 2 раза, то число измерений нужно увеличить в 4 раза; если требуется увеличить точность в 3 раза, то число измерений увеличивают в 9 раз и т.д.

Цель работы

Определить расход воды весовым способом и найти доверительный интервал для нескольких заданных значений надежности результата.

Описание экспериментальной установки

Рис. 1.1. Схема установки для определения расхода

Установка состоит из бака 1, в котором приток и отток жидкости регулируется таким образом, чтобы напор истечения Н оставался постоянным во время опыта. Расход жидкости регулируется краном 2; для взвешивания используются гастрономические весы; время наполнения бачка 4 определяется секундомером.

Порядок проведения эксперимента и состав измерений

Регулируя открытие кранов 2 и 3, установить стационарный режим истечения.

Произвести взвешивание порожнего бачка 4 (G₁);

Подставив бачок под струю воды, наполнить его примерно на 2/3 объема, засечь время наполнения (t) и взвесить бачок с водой (G₂).

Определить расход воды по формуле

1.4.5. Повторить измерение расхода 30 раз.

Порядок обработки опытных данных

Определить среднеарифметические значения расхода

,

— число измерений, отдельно для серий из 10, 20 и 30 измерений.

1.5.2. Найти значение случайной погрешности каждого отдельного измерения и значение среднеквадратичного отклонения

для серий состоящих из 10, 20 и 30 измерений.

Задаться надежностью результата и определить доверительный интервал для каждой серии измерений

,

где — коэффициент, зависящий от надежности результата.

При числе измерений при нахождении границы доверительного интервала следует учитывать поправку, известную как коэффициент Стьюдента. В этом случае

/>.

Значения коэффициентов ив зависимости от надежности приведены в таблицах 1.1 и 1.2 в приложении (1.1. и 1.2)

Определить относительную погрешность измерения

Записать результат измерения расхода в сериях из 10, 20 и 30 измерений.

Анализ результатов

Объяснить связь между шириной доверительного интервала и надежностью результата.

Контрольные вопросы

1. Что такое случайная погрешность?

В чем заключается вероятностный подход к оценке погрешности измерения?

Чем характеризуется величина погрешности?

Что такое надежность результата измерения?

1. А.Г. Сергеев, М.В. Латышев, В.В. Терегеря. Метрология, стандартизация, сертификация: Учебное пособие. –М: Логос, 2001.-536 с.

Источник



Методы вероятностного описания погрешностей средств и результатов измерений.

Этот метод также предусматривает проведение измерения в два этапа выполняемых так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в показания средства измерения на каждом этапе с разными знаками. За результат измерения принимают полусумму показаний — систематические погрешности при этом взаимно компенсируются.

Независимо от того, к какому виду относится измерение, является ли оно прямым, косвенным совместным или совокупным, систематическая погрешность результата; измерения оценивается, как правило, по ее известным составляющим.

Поскольку в каждом конкретном случае каждая систематическая составляющая получает конкретную реализацию (она либо постоянная, либо известен закон ее изменения), то результирующая, суммарная систематическая погрешность представляет собой алгебраическую сумму составляющих:

Когда при проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных наблюдений одной и той же постоянной величины получаем результаты, отличающиеся друг от друга, это свидетельствует о наличии в них случайных погрешностей. Каждая такая погрешность возникает вследствие одновременного воздействия на результат наблюдения многих случайных возмущений, и сама является случайной величиной. В этом случае предсказать результат отдельного наблюдения и исправить его введением поправки невозможно. Можно лишь с определенной долей уверенности утверждать, что истинное значение измеряемой величины находится в пределах разброса результатов наблюдений от Хmin до Хmax, где Хmin и Хmax — соответственно, нижняя и верхняя границы разброса. Однако остается неясным, какова вероятность появления того или иного значения погрешности, какое из множества лежащих в этой области значений величины принять за результат измерения и какими показателями охарактеризовать случайную погрешность результата. Для ответа на эти вопросы требуется принципиально иной, чем при анализе систематических погрешностей, подход. Подход этот основывается на рассмотрении результатов наблюдений, результатов измерений и случайных погрешностей как случайных величин. Методы теории вероятностей, математической статистики позволяют установить вероятностные (статистические) закономерности появления случайных погрешностей и на основании этих закономерностей дать количественные оценки результата измерения и его случайной погрешности.

Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятностей используют понятие закона распределения вероятностей случайной величины. Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную. В метрологии преимущественно используется дифференциальная форма — закон распределения плотности вероятностей случайной величины.

Рассмотрим формирование дифференциального закона на примере измерений с многократными наблюдениями. Пусть произведено n последовательных наблюдений одной и той же величины х и получена группа наблюдений х1, х2, х3, . хn. Каждое из значений х1 содержит ту или иную случайную погрешность. Расположим результаты наблюдений в порядке их возрастания, от Хmin до Хmax и найдем размах ряда L=Хmax — Хmin. Разделим размах ряда на k равных интервалов Dl=L/k, подсчитаем количество наблюдений попадающих в каждый интервал. Изобразим полученные результаты графически, нанеся на оси абсцисс значения физической величины и обозначив границы интервалов, а по оси ординат — относительную частоту попаданий n_k /n. Построив на диаграмме прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов, а высотой n_k /n, получим гистограмму, дающую представление о плотности распределения результатов наблюдений в данном опыте. На рис. 4 показана полученная в одном из опытов гистограмма, построенная на основании результатов 50 наблюдений, сгруппированных в таблицу.

Если распределение случайной величины х статистически устойчиво, то можно ожидать, что при повторных сериях наблюдений той же величины, в тех же условиях, относительные частоты попаданий в каждый интервал будут близки к первоначальным. Это означает, что единожды построив гистограмму, при последующих сериях наблюдений можно с определенной долей уверенности заранее предсказать распределение результатов наблюдений по интервалам. Приняв общую площадь, ограниченную контуром гистограммы и осью абсцисс, за единицу, 50 = 1, относительную частоту попаданий результатов наблюдений в тот или иной интервал можно определить как отношение площади соответствующего прямоугольника шириной Dl к общей площади.

Источник